【详细推导】等比数列求和公式的推导

等比数列求和公式

等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值相等，比值我们称为公比，用 q 表示。例如，2, 4, 8, 16 是一个公比为 2 的等比数列。

我们假设有一个公比为 q 的等比数列，首项为 a₁，共有 n 项。则该等比数列的前 n 项和 Sn 的求和公式为：

Sn = a₁ * (qⁿ - 1)/(q - 1)

推导过程

首先，我们将等比数列的前 n 项和 Sn 写成下面的形式：

Sn = a₁ a₂ a₃ ... a_n-1 a_n

同乘公比 q，我们得到：

q * Sn = a₁ * q a₂ * q² a₃ * q³ ... a_n-1 * q^n-1 a_n * qⁿ

两式相减，得到：

Sn - q * Sn = a₁ (a₂ * q - a₁ * q) (a₃ * q² - a₂ * q²) ... (a_n-1 * q^n-2 - a_n-2 * q^n-2) (a_n * q^n-1 - a_n-1 * q^n-1)

因为等比数列中每一项与前一项的比值相等，所以可以得到：

Sn - q * Sn = a₁ - a_n * qⁿ

移项，得到：

Sn = a₁ * (qⁿ - 1)/(q - 1)

例子

例如，有一个公比为 2 的等比数列，首项为 1，共有 5 项。则该等比数列的前 5 项和 Sn 的求和公式为：

Sn = 1 * (2⁵ - 1)/(2 - 1) = 31

应用

等比数列是一种重要的数学工具，在金融、物理、经济等领域有着广泛的应用。等比数列求和公式的推导，为我们提供了一种快速求解等比数列前 n 项和的方法。在实际问题中，如果遇到等比数列求和的问题，我们可以利用该公式来解决。